Question

已知以向量为方向向量的直线l过点，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）先求直线l：，再根据抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，可得方程，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），根据，用坐标表示，结合抛物线方程，即可求得点N的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得直线l：     ①
过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x    ②
解①②得，即两直线的交点的横坐标为．
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴，p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），
由，得x1x2+y1y2+4=0．
又，．
代入上式+y1y2+4=0．
解得y1y2=-8     
又直线ON：，即      
∵y=y1，∴y1y2=4x
∵y1y2=-8 
∴x=-2（y≠0）．
∴点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．