Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．

Answer

（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；
（2）要使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，只需当区间[-5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．
【解析】
（1）f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2-a2，
其对称轴为x=-a，当a=1时，f（x）=x2+2x+2，
所以当x=-1时，f（x）min=f（-1）=1-2+2=1；
当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）
（2）当区间[-5，5]在对称轴的一侧时，
函数y=f（x）是单调函数．所以-a≤-5或-a≥5，
即a≥5或a≤-5，即实数a的取值范围是（-∞，-5]∪[5，+∞）时，
函数在区间[-5，5]上为单调函数．（12分）