Question

已知a＞0，且a≠1，．
（1）求f（x）的表达式，并判断其单调性；
（2 ）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（3）若y=f（x）-4在（-∞，2）上恒为负值，求a的取值范围．

Answer

（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x），利用单调函数的定义和性质可判断单调性．
（2）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求【解析】
由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、单调性，由f（1-m）+f（1-m2）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．
（3）由当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，即f（x）-4＜0恒成立，根据函数的单调性可得f（2）-4≤0，整理即可解得a的取值范围．
【解析】
（1）：（1）令t=logax（t∈R），
则x=at，f（t）=（at-a-t）．
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）．
①当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y=（）x=a-x是减函数，y=-a-x是增函数．
∴y=ax-a-x为增函数，
又因为＞0，
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）是增函数．
②当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，
y=（）x=a-x是增函数，y=-a-x是减函数．
∴u（x）=ax-a-x为减函数．
又因为＜0，
∴f（x）=（ax-a-x）（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（2）易判断函数f（x）是奇函数，f（1-m）+f（1-m2）＜0⇔f（1-m）＜f（m2-1），
又f（x）为增函数，所以有，解得，
故不等式的解集{m|1＜m＜}；
（3）当x∈（0，2）时，f（x）-4的值恒为负数，即f（x）-4＜0恒成立，
因为f（x）为R上的单调增函数，则f（2）-4=（a2-a-2）-4≤0，
整理得a2-4a+1≤0，所以2-≤a≤2，
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[2-，1）∪（1，2]．