Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P-ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，，
所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD⊂平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．

（Ⅱ）【解析】
过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P-ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，
此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．
故．