Question

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

Answer

（Ⅰ）由an+1=2an+1，知an+1+1=2（an+1），由此能证明数列{an+1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，用裂项求和法求出Tn=，由此能求出使得对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=2an+1
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1=1，a1+1=2≠0…（2分）
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴，
∴．…（4分）
（Ⅱ）∵，…（6分）
∴
=．…（8分）
∵，
又Tn＞0，
∴Tn＜Tn+1，n∈N*，即数列{Tn}是递增数列．
∴当n=1时，Tn取得最小值．…（10分）
要使得对任意n∈N*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）