Question

已知函数f（x）=2^x-x²，x∈[4，5]，对于f（x）值域内的所有实数m，满足不等式t²+mt+4＞2m+4t恒成立t的集合是（ ）
A．（-∞，-5）
B．（-∞，-2）∪（5，+∞）
C．（-∞，-5）∪（2，+∞）
D．（-∞，-5）∪（-2，+∞）

Answer

先利用导数判断函数f（x）的单调性，由单调性可求得f（x）在[4，5]上的值域[0，7]，t2+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t2-4t+4＞0对任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t2-4t+4，则有，解出即可．
【解析】
f′（x）=2xln2-2x，[f′（x）]′=2xln22-2，
因为ln2＞ln=，所以当x≥4时，[f′（x）]′=2xln22-2≥24ln22-2＞0，
故f′（x）在[4，5]上递增，且f′（x）≥f′（4）=24ln2-2×4＞0，
所以f（x）在[4，5]上递增，所以f（x）min=f（4）=0，f（x）max=f（5）=7，即m∈[0，7]．
t2+mt+4＞2m+4t恒成立即（t-2）m+t2-4t+4＞0对任意m∈[0，7]恒成立，令g（m）=（t-2）m+t2-4t+4，
则有，即，解得t＜-5，或t＞2，
故选C．