Question

已知展开式中偶数项二项式系数的和比（1+x）ⁿ展开式的各项系数和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求（1-x）²ⁿ展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）在（1）的条件下，求展开式中的所有的有理项．

Answer

（1）由题意可得 22n-1=2n=112，由此求得n的值．
（2）由n=4，（1-x）2n =（1-x）8，从而可得（1-x）8展开式中系数最大的项是第五项，根据通项公式求得 T5．
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，根据通项公式 可得 ，求得r=1，4，7，从而得到展开式中的所有的有理项．
【解析】
（1）由题意可得 22n-1=2n=112，22n-2•2n-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）2n =（1-x）8，从而，（1-x）8展开式中系数最大的项是：T5= （-x）4=70x4．  …（8分）
（Ⅲ）设有理项为第r+1项，则 Tr+1=••=••，∴．
令=k 则，r=4-k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2项，第5项，第8项为有理数，它们分别是 T2=- •x2=-4x2，T5=••x=，
T8=••x-2．…..13 分