Question

已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=    ．

Answer

设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．
【解析】
设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又
∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，
∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，
设内切球半径为r，
则有四面体的体积V=4••r=，
∴r==，即OM=，
所以AO=AM-OM=，所以 =3
故答案为：3