Question

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．
【解析】
（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tanθ≤10，AF=≤10，
而且 ≤tanθ≤，θ∈[，]，
∴L=++，θ∈[，]．
即L=10×，θ∈[，]．
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．
由于L= 在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ= 或θ= 时，L取得最大值为 20（+1）米．