Question

如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．

Answer

（1）因为：，且过点，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；
（2）设点M（4，y1），N（4，y2）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到y1y2=-15，又，结合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点．
【解析】
（1）∵，且过点，
∴解得
∴椭圆方程为．（4分）
（2）设点M（4，y1），N（4，y2）则，，
∴y1y2=-15，
又∵，
∴MN的最小值为．
（3）圆心C的坐标为，半径．
圆C的方程为，
整理得：x2+y2-8x-（y1+y2）y+16+y1y2=0．∵y1y2=-15，∴x2+y2-8x-（y1+y2）y+1=0
令y=0，得x2-8x+1=0，∴．∴圆C过定点．