Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos|）a_n+|sin|，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_2n}（n∈N^*}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立．

Answer

（1）设n=2k（k∈N*），根据an+2=（1+2|cos|）an+|sin|，结合三角函数的定义，易得a2n+2=a2（n+1）=3•a2n，进而根据等比数列的定义，可得结论；
（2）设n=2k-1（k∈N**），根据an+2=（1+2|cos|）an+|sin|，结合三角函数的定义，易得a2n+1=a2n-1+1，故数列{an}所有的奇数项构成一个等差数列，综合（1）中结论，可得答案．
（3）若bk+1＞bk，则bk+1-bk＞0，由已知求出bk+1-bk的表达式，结合（1）（2）中的结论，分类讨论，可得答案．
【解析】
（1）设n=2k（k∈N*）
∵a2k+2=（1+2|coskπ|）a2k+|sinkπ|=3a2k，又a2=3，
∴当n∈N*时，数列{a2n}为首项为3，公比为3的等比数列；…4'
（2）设n=2k-1（k∈N*）
由a2k+1=（1+2|cos（k-）π|）a2k-1+|sin（k-）π|=a2k-1+1
∴当k∈N*时，{a2k-1}是等差数列
∴a2k-1=a1+（k-1）•1=k…6'
又由（1）当k∈N*时，数列{a2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a2k=a2•3k-1=3k…6'
综上，数列{an}的通项公式为…8'
（3）bk=a2k+（-1）k-1λ•2=3k+（-1）k-1λ•2k，
∴bk+1-bk=3k+1+（-1）kλ•2k+1-3k-（-1）k-1λ•2k=2•3k+（-1）kλ•3•2k
由题意，对任意k∈N*都有bk+1＞bk成立
∴bk+1-bk=2•3k+（-1）kλ•3•2k＞0恒成立
即2•3k＞（-1）k-1λ•3•2k对任意k∈N*恒成立…11'
①当k为奇数时，
2•3k＞λ•3•2k⇒λ＜对任意k∈N*恒成立
∵k∈N*，且k为奇数，
∴≥=1
∴λ＜1…13'
②当k为偶数时，
2•3k＞-λ•3•2k⇒λ＞-对任意k∈N*恒成立
∵k∈N*，且k为偶数，
∴-≤-，
∴λ＞-…15'
综上：有-＜λ＜1…12'
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…16'