Question

已知函数f（x）=（x＞0）．
（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；
（2）若f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；
（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

Answer

（1）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；
（2）问题转化为h（x）=＞k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值；
（3）由（Ⅱ）知（x＞0），可得ln（x+1）＞2-，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n-3，进而可得答案．
【解析】
【解析】
（1）∵f（x）=（x＞0），
∴f′（x）=[]=[]…（2分）
∵x＞0，∴x2＞0，，ln（x+1）＞0，∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．…（4分）
（2）f（x）＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，
即h（x）的最小值大于k．…（6分）
而h′（x）=，令g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
则g′（x）=，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）
当x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）min=h（a）==a+1∈（3，4）
故正整数k的最大值是3    …（10分）
（3）由（Ⅱ）知（x＞0）
∴ln（x+1）＞-1=2-＞2-   …（12分）
令x=n（n+1）（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2-，
∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]
＞（2-）+（2-）+…+[2-]
=2n-3[]
=2n-3（1-）=2n-3+＞2n-3
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3  …（16分）