Question

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（1）求S_n及a_n；
（2）若数列{c_n}满足c_n=6na_n-n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）将点A（1，1）、B（2，3）代入函数解析式，得到关于m，t的方程解出参数的值，求得函数的解析式，再将点C（n，Sn），得到Sn=2n-1（n∈N*）．再有n≥2时，an=Sn-Sn-1求an；
（2）由题意cn=6nan-n，求得数列{cn}的通项公式，由其形式得到，需要先分组，再对其中的一组用错位相减法求和．另一组用公式求和．两者相加求得数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）由，得，
∴f（x）=2x-1，∴Sn=2n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1．
当n=1时，S1=a1=1符合上式．
∴an=2n-1（n∈N*）．
（2）由（1）知cn=6nan-n=3n×2n-n．
从而Tn=3（1×2+2×22+…+n×2n）-（1+2+…+n）
令M=1×2+2×22+…+n×2n，
则2M=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1
作差整理得M=（n-1）•2n+1
所以Tn=3（n-1）•2n+1-+6．