Question

设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．

Answer

（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．
【解析】
（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2，2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=．
（2）由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6-x-y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6-x-y，能构成三角形，
则还要满足，即为，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P==