Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

Answer

（1）PA=AB=1，PB=，可得PA⊥AB．同理PA⊥AD．得证．
（2）设出平面ACE的一个法向量为 ，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面ACE的法向量为 的坐标，代入面面夹角向量公式，即可求出答案．
（3）假设在棱PC存在一点F，使得BF∥平面AEC，则须与垂直．数量积为0，利用方程解的存在与否判定点F是否存在．
【解析】
（1）正方形ABCD边长为1，PA=1，，
所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=D
根据直线和平面垂直的判定定理，
所以，PA⊥平面ABCD．         
（2）如图，以A为坐标原点，直线AB、AD、AP分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则，，
由（1）知为平面ACD的法向量，，
设平面ACE的法向量为，
则
令c=6，则b=-3，a=3，，…（4分）
设二面角D-AC-E的平面角为θ，则，
又有图可知，θ为锐角，
故所求二面角的余弦值为．
（3）设，则，，
若BF∥平面ACE，则，即，（λ-1，λ，1-λ）•（3，-3，6）=0，
计算得
所以，存在满足题意的点，即当F是棱PC的中点时，BF∥平面ACE．…（8分）