Question

已知椭圆的两个焦点，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由题意知c=，4a=8，由此能得到椭圆的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理结合向量的运算法则能够导出为定值．
【解析】
（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为=1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则由韦达定理得则
∴=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2
=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）
=
=要使上式为定值须，解得∴为定值当直线l的斜率不存在时由可得∴=综上所述当时，为定值