Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）O是AD1的中点，连接OE，由中位线定理可得EO∥BD1，再由线面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE；
（2）由正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，根据面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ADD1A1，进而线线面垂直的性质定理得到AB⊥A1D，结合A1D⊥AD1及线面垂直的判定定理，可得A1D⊥平面AD1E，进而D1E⊥A1D；
（3）以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设M（1，y，0）（0≤y≤2），分别求出平面D1MC的法向量和平面MCD的一个法向量，根据二面角D1-MC-D的大小为，结合向量夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得M占的坐标，进而求出AM长．
证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）
又∵BD1⊂平面A1DE，OB⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE  …（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1
∴AE⊥A1D，
又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1=A
∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E
∴A1D⊥D1E…．（4分）
【解析】
（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），
设M（1，y，0）（0≤y≤2），∵
设平面D1MC的法向量为n1=（x，y，z）则，得 
取D1MC是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为n2=（0，0，1）要使二面角D1-MC-D的大小为，
而
解得：，当AM=时，二面角D1-MC-D的大小为…（6分）