Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0
（1）求数列的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer

（1）首先判断数列{an}为等差数列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式即得．
（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）求出结果；当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案．
【解析】
（1）an+2-2an+1+an=0∴an+2-an+1=an+1-an
∴{an+1-an}为常数列，
∴{an}是以a1为首项的等差数列，
设an=a1+（n-1）d，a4=a1+3d，
∴，
∴an=10-2n．
（2）∵an=10-2n，令an=0，得n=5．
当n＞5时，an＜0；当n=5时，an=0；当n＜5时，an＞0．
∴当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）=T5-（Tn-T5）=2T5-Tn，Tn=a1+a2+…+an．
当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn．
∴