Question

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A．-3≤a≤6
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a≤-3或a≥6

Answer

求出原函数的导函数，因为函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1是R上的单调函数，所以其导函数在R内恒大于等于0或恒小于等于0，然后利用二次函数对应的二次方程的判别式小于等于0求解a的值．
【解析】
由f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，得：f′（x）=3x2+2ax+a+6．
因为函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1是R上的单调函数，
所以其导函数f′（x）=3x2+2ax+a+6在R上恒大于等于0或恒小于等于0，
而导函数是二次函数，且图象开口向上，所以其对应的一元二次方程的判别式恒小于等于0，
即△=（2a）2-4×3×（a+6）≤0，
即a2-3a-18≤0．
解得：-3＜a＜6．
所以a的取值范围是-3＜a＜6．
故选B．