Question

已知函数f（x）=（-x²+ax+b）e^-x，a∈R
（1）若b=-a，求y=f（x）的单调区间；
（2）若b=0，且f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer

（1）先解出f′（x）=0，通过对a分类讨论即可得出其单调区间；
（2）f（x）在（-1，1）上单调递减⇔f′（x）≤0，解出即可．
【解析】
（1）当b=-a时，函数f（x）=（-x2+ax-a）e-x，∴f′（x）=[x2-（2+a）x+2a]e-x=（x-a）（x-2）e-x，令f′（x）=0，则x=2或a．
①当a=2时，f′（x）=（x-2）2e-x≥0，因此f（x）在R上单调递增；
②当a＞2时，如表所示，函数在区间（-∞，2），（a，+∞）上单调递增；在区间（2，a）上单调递减；
③同理：当a＜2时，函数在区间（-∞，a），（2，+∞）上单调递增；在区间（a，2）上单调递减．
（2）b=0，f（x）=（-x2+ax）e-x，∴f′（x）=[x2-（a+2）x+a]e-x．
∵f（x）在（-1，1）上单调递减，∴f′（x）≤0，∴x2-（a+2）x+a≤0在（-1，1）上单调递减，
∴，解得．
因此a的取值范围为．