Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x
（1）求f（x）的极值；
（2）若x＞-1，求证；
（3）若函数，当恒成立时，求整数k的最大值．

Answer

（1）确定函数定义域，利用导数判断单调性，根据单调性的情况即可求得极值；
（2）由（1）知f（0）为最小值，即f（x）≥f（0），由此可证ln（x+1）≤x；令g（x）=ln（x+1）+-1，利用导数可证明g（x）≥g（0），由此可证明ln（x+1）≥1-．
（3）可以先利用特殊值x=1尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′（x）==，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=0时f（x）取得极大值f（0）=0，无极小值；
（2）由（1）知，x=0为f（x）唯一的极大值点，也即最大值点，
所以当x＞-1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，
所以ln（x+1）≤x；
令g（x）=ln（x+1）+-1，则g′（x）=-=，
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=0是g（x）唯一的极小值点，也即最小值点，
所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+-1≥0，
所以ln（x+1）≥1-．
综上，x＞-1时，；
（3）g（x）=，当x＞0时，g（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．
又k为正整数．则k的最大值不大于3．
下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立，即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，
则g′（x）=ln（x+1）-1．
当x＞e-1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e-1时，g′（x）＜0．
∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0．
∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
因此正整数k的最大值为3．