Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R）．
（1）记函数F（x）=f（x）-g（x），
（i）判断函数F（x）的零点个数；
（ii）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
（2）设．若对于函数y=G（x）图象上异于原点O的任意一点P，在函数y=G（x）图象上总存在另一点Q，使得，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer

（1）利用函数F（x）=f（x）-g（x）求出表达式，
（i）利用判别式的符号，直接判断函数F（x）的零点个数；
（ii）通过函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，化简函数的表达式，利用函数的对称轴，以及1处的函数值，列出不等式组，求实数a的取值范围．
（2）通过．求出函数y=G（x）的表达式，设出点P的坐标、Q的坐标，通过，且PQ的中点在y轴上，求出a的取值范围．
【解析】
（1）（i）F（x）=x2-ax-3
∵∴函数F（x）有2个零点． …（4分）
（ii） ，当a≤0时，图象为：
当a＞0时，图象为：
由题意．解得-2≤a≤0…（8分）
（2），
由题意易知P，Q两点在y轴的两侧，不妨设P点坐标在y轴的左侧，设，
当-1＜x1＜0，则，恒成立，…（12分）
当x1≤-1，则设点Q（-x1，-ax1+3），恒成立，
∴ax1＞2恒成立，∵x1≤-1，
∴恒成立，只要∴，…（14分）
∵x1≤-1，∴，
∴a＜-2．             …（16分）