Question

已知曲线Cx²-y²=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

Answer

（1）将直线与双曲线联立，利用l与C左支交于两个不同的交点，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k的取值范围；
（2）利用韦达定理，结合△AOB的面积为，可建立k的方程，从而可求实数k的值．
【解析】
（1）由消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0．
∵l与C左支交于两个不同的交点
∴且 x1+x2=-＜0，x1x2=-＞0
∴k的取值范围为 （0，1）
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由（1）得 x1+x2=-，x1x2=-．
又l过点D（0，-1），
∴S△OAB=|x1-x2|=．
∴（x1-x2）2=（2）2，即（）2+=8．
∴k=0或k=±．