Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer

（1）由ABC-A1B1C1为直三棱柱，导出CC1⊥AC，由AB2=AC2+BC2，导出AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．
（2）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
【解析】
（1）∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …（4分）
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…（7分）
（2）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA1=4，
∴A（3，0，0），C1（0，0，4），C（0，0，0），B1（0，4，4），
∴=（-3，0，4），=（0，-4，-4），
∴cos＜，＞==-．
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．