（1）连接AC，B1D1，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接D1O，O1B，则可证D1O∥面A1C1B，即可得到结论；
（2）连接B1D，则B1D⊥面A1C1B，设垂足为G，则∠GBB1为直线BB1和面A1C1B所成角，即可求解；
（3）△A1C1B在底面ABCD中的射影为△ACB，则面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为，从而可得结论．
【解析】
（1）连接AC，B1D1，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接D1O，O1B，则
∵D1O1=BO，D1O1∥BO，∴四边形D1OBO1是平行四边形，
∴D1O∥O1B
∵D1O⊄平面A1C1B，O1B⊂平面A1C1B，
∴D1O∥面A1C1B；
∴BD上存在中点E，使D1E∥面A1C1B；
（2）连接B1D，则B1D⊥面A1C1B，设垂足为G，则∠GBB1为直线BB1和面A1C1B所成角
∵B1G=B1D=BB1，
∴直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值为；
（3）∵△A1C1B在底面ABCD中的射影为△ACB
∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为=
∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．
