Question

已知实数组成的数组（x₁，x₂，x₃，…，x_n）满足条件：①；     ②．
（1）当n=2时，求x₁，x₂的值；
（2）当n=3时，求证：|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）设a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n，且a₁＞a_n（n≥2），求证：．

Answer

（1）当n=2时，通过已知条件列出方程组，然后求x1，x2的值；
（2）当n=3时，利用条件列出x1+x2+x3=0，|x1|+|x2|+|x3|=1，通过|3x1+2x2+x3|=|x1+2（x1+x2+x3）-x3|，
然后证明|3x1+2x2+x3|≤1；
（3）通过a1≥ai≥an，且a1＞an（i=1，2，3，…，n）．转化为|（a1-ai）-（ai-an）|≤|（a1-ai）+（ai-an）|=|a1-an|，推出|a1+an-2ai|≤|a1-an|，借助（2）的证明方法证明：．
【解析】
（1）【解析】

由（1）得x2=-x1，再由（2）知x1≠0，且x2≠0．
当x1＞0时，x2＜0．得2x1=1，所以…（2分）
当x1＜0时，同理得…（4分）
（2）证明：当n=3时，
由已知x1+x2+x3=0，|x1|+|x2|+|x3|=1．
所以|3x1+2x2+x3|=|x1+2（x1+x2+x3）-x3|=|x1-x3|≤|x1|+|x3|≤1．…（9分）
（3）证明：因为a1≥ai≥an，且a1＞an（i=1，2，3，…，n）．
所以|（a1-ai）-（ai-an）|≤|（a1-ai）+（ai-an）|=|a1-an|，
即|a1+an-2ai|≤|a1-an|（i=1，2，3，…，n）．…（11分）
=
=
）

=
=．…（14分）