Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-与x=1处都取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极大值、极小值．

Answer

（I）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（II）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的单调性情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．
【解析】
（I）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b        
由f′（）=-a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-，b=-2                    
经检验，a=-，b=-2符合题意；
（II）由（I）得所求的函数解析式为f（x）=x3-x2-2x；
f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x （-∞，-） - （-，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

所以函数f（x）的递增区间为（-∞，-），（1，+∞）递减区间为（-，1），
极大值为f（x）极大值=f（-）=，极小值为f（1）极小值=-．