Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

Answer

（1）设Q（x，0），由F2（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
【解析】
（1）设Q（x，0），由F2（c，0），A（0，b）
知
∵，∴，
由于即F1为F2Q中点．
故∴b2=3c2=a2-c2，
故椭圆的离心率，（3分）
（2）由（1）知，得于是F2（a，0）Q，
△AQF的外接圆圆心为（-a，0），半径r=|FQ|=a
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为，（6分）
（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x-1）
代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）
则，y1+y2=k（x1+x2-2），（8分）
=（x1+x2-2m，y1+y2）
由于菱形对角线垂直，则
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0
则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0k2（10分）
由已知条件知k≠0且k∈R∴∴
故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（12分）