Question

对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值，求m的范围（ ）
A．
B．
C．-9＜m＜-5
D．-9＜m＜0

Answer

首先求出原函数的导函数，函数在区间（t，3）上总存在极值，说明其导函数值在该区间内有正有负，求出的导函数是二次函数，对应的图象开口向上，且两根之积小于0，说明导函数的一个零点是负值，只要让另一个零点在区间（t，3）内即可，列式后再通过函数的单调性求m的范围，最后取交集．
【解析】
由函数，得：f′（x）=3x2+（4+m）x-2．
要使对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值，
说明导函数f′（x）的值在（t，3）上有正有负，
因为二次函数f′（x）=3x2+（4+m）x-2的图象开口向上，且横过定点（0，-2），
所以，只需，即，
由①得：m＜（1≤t≤2）．而．
所以，m＜-9．
由②得：m＞-．
所以，使得对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值的m的范围是．
故选B．