Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]内的值域；
（Ⅱ）若ax²+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．．

Answer

（Ⅰ）由题意得-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，故有 ，且a＜0，解得a和b，然后再根据函数单调性解出函数在在[0，1]内的值域即可；
（Ⅱ）在已知a和b的情况下，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，列式，可解出实数c的取值范围．
【解析】
（I）∵当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0
∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，
∴可得，所以  a=-3   b=5，
∴f（x）=-3x2-3x+18=-3（x+）2+18.75
函数图象关于x=-0.5对称，且抛物线开口向下
∴在区间[0，1]上f（x）为减函数，所以函数的最大值为f（0）=18，最小值为f（1）=12
故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]
（II）由（I）知，不等式ax2+bx+c≤0化为：-3x2+5x+c≤0
因为二次函数y=：-3x2+5x+c的图象开口向下，要使-3x2+5x+c≤0的解集为R，只需，
即 25+12c≤0⇒c≤，
∴实数c的取值范围．