Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax²，x∈[0，+∞），a∈R
．

Answer

（1）把a=代入已知式子，求导数可得函数单调增，进而可得f（x）≥f（0）=0；
（2）求导数可得f′（x）=，分，，三种情况讨论即可．
【解析】
（1）当a=时，f（x）=ln（1+x）-x+x2，
∴f′（x）==≥0在x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，
故当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）∵f′（x）==，
①当，即a时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0；
②当，即a＜0时，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0与题意不符；
③当，即0时，f′（x）==，
故在[0，）上，f′（x）≤0，
∴f（x）≤f（0）=0与题意不符，
综上可得当且仅当a时，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．