根据题目给出的条件2f(x)+xf′(x)>0,想到构造函数g(x)=x2f(x),求导后分析该函数的单调性,从而能判出函数的极小值点,进一步得到函数g(x)恒大于0,则有f(x)恒大于0.
【解析】
令g(x)=x2f(x),
则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)
=x(2f(x)+xf′(x)),
因为2f(x)+xf′(x)>0,
所以,当x>0时,g′(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数.
当x<0时,g′(x)<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上为减函数.
所以,当x=0时函数g(x)有极小值,也就是最小值为g(0)=0.
所以g(x)=x2f(x)恒大于等于0,
当x≠0时,由x2f(x)恒大于0,可得f(x)恒大于0.
又对可导函数f(x),恒有2f(x)+xf′(x)>0,
取x=0时,有2f(0)+0×f′(0)>0,所以f(0)>0.
综上有f(x)恒大于0.
故选A.