Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式

Answer

（1）利用递推公式可把已知转化为an+1=4an-2an-1，从而有，从而可得数列{bn}为等比数列
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，要证数列{cn}为等差数列⇔为常数，把已知代入即可
（3）由（2）可求an=（3n-4）•2n-2，代入sn+1=4an+2可求sn+1，进而求出sn
【解析】
（1）Sn+1=Sn+an+1=4an-1+2+an+1
∴4an+2=4an-1+2+an+1
∴an+1-2an=2（an-2an-1）
即：且b1=a2-2a1=3
∴{bn}是等比数列
（2）{bn}的通项bn=b1•qn-1=3•2n-1
∴
又
∴{Cn}为等差数列
（3）∵Cn=C1+（n-1）•d
∴
∴an=（3n-1）•2n-2（n∈N*）
Sn+1=4•an+2=4•（3n-1）•2n-2+2=（3n-1）•2n+2
∴Sn=（3n-4）2n-1+2（n∈N*）