Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN=2C₁N．
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离．

Answer

（I）由题意及图形因为M是底面BC边上的中点，所以线线垂直进而线面垂直，利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，在△B1MN中，由余弦定理可以求得；
（II）由题意过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，又AM⊥平面BCC1B1，所以B1H⊥平面AMN，在三角形中解出B1H，即可．
【解析】
（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，
所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，
所以AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，AM⊥NM，
所以∠B1MN为二面角，B1-AM-N的平面角．
又B1M==，MN=，

连B1N，得B1N=，
得．
故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值为．
（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，H为垂足．又AM⊥平面BCC1B1，
所以AM⊥B1H．于是B1H⊥平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离．
在R1△B1HM中，B1H=B1M．
故点B1到平面AMN的距离为1．