Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n（m²-3m） 对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer

（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{}为等差数列，求出{Sn}的通项，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法求数列{bn}的前n项和，再求最值，利用Tn（m2-3m），即可求得结论．
（Ⅰ）证明：∵，∴当n≥2时，，
整理得，-=1（n≥2），（2分）
又，（3分）
∴数列{}为首项和公差都是1的等差数列．              （4分）
∴=n，
又Sn＞0，∴Sn=                       （5分）
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=，又a1=S1=1适合此式
∴数列{an}的通项公式为an=；（（7分）
（Ⅱ）【解析】
∵bn===-（8分）
∴Tn=1-+-+…+-=1-=（10分）
∴Tn≥，
依题意有（m2-3m），解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）