Question

如图，已知曲线C：在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次得到一系列点P₁、P₂、…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）求三角形OP_nP_n+1的面积
（Ⅲ）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列{nk_n}的前n项和S_n，并证明．

Answer

（Ⅰ）通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到xn+1与xn的关系，利用等比数列的通项公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及（Ⅰ）的结论即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论即可求出nkn，再利用“错位相减法”即可求出Sn，进而证明结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴f′（1）=-1，
∴曲线C：在点P（1，1）处的切线为y-1=-（x-1），
令y=0，则x=2，∴Q1（2，0），∴，∴x1=2．
则过点的切线斜率为，其方程为，
令y=0，得到x=2xn，∴Qn+1（2xn，0），即xn+1=2xn，∴．
∴数列{xn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（Ⅱ）∵=-
=-
===．
（Ⅲ）证明：由（1）可知：kn====，∴nkn=．
∴Sn=…+，
4Sn=+…+，
两式相减得3Sn═1+++…+-=-，
∴Sn=．
故成立．