Question

已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求m的值和△ABC的面积S．

Answer

（Ⅰ）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得．设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围．
（Ⅱ）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，设C（x，y），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知b=1
故曲线E的方程为x2-y2=1（x＜0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组
消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有
解得．

（Ⅱ）∵
==
=
依题意得
整理后得28k4-55k2+25=0
∴或
但∴
故直线AB的方程为
设C（x，y），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx，my）
∴，（m≠0）
又，
∴点C
将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，点C的坐标为C到AB的距离为
∴△ABC的面积