Question

给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
（1）甲、乙至少有一个是真命题；
（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．

Answer

根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集为∅为真命题时，a的取值范围A，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数y=（2a2-a）x为增函数为真命题时，a的取值范围B．
（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A∪B即为所求
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则（A∩CUB）∪（CUA∩B）即为所求．
【解析】
若命题甲：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集为∅为真命题
则△=（a-1）2x-4a2=-3a2-2a+1＜0
即3a2+2a-1＞0，
解得A={a|a＜-1，或a＞}
若命题乙：函数y=（2a2-a）x为增函数为真命题
则2a2-a＞1
即2a2-a-1＞0
解得B={a|a＜-，或a＞1}
（1）若甲、乙至少有一个是真命题
则A∪B={a|a＜-或a＞}；
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题
（A∩CUB）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或-1≤a＜-}．