Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点，求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE；
（3）若A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=AA₁，求二面角D-AE-C的正切值．

Answer

（1）依题意，可证AD⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，可证A1F⊥B1C1，进一步可证A1F⊥平面BCC1B1；由（1）知AD⊥平面BCC1B1，从而A1F∥AD，利用线面平行的判定定理即可证得结论；
（3）利用三垂线定理作出二面角D-AE-C的平面角，再计算即可．
证明：（1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD． 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE=E，
所以AD⊥平面BCC1B1．
又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．…（4分）
（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F，
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1．
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD．
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE…（5分）
（3）过点D作DP⊥AC于P，过点P作PM⊥AE于M，连接DM，则∠PMD即为二面角D-AE-C的平面角．
设A1B1=A1C1=B1C1=AA1=2，则CD=1，DP=1×sin60°=，MP=×=，在直角三角形DPM中，
tan∠PMD===…（5分）