Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，即-x2+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x2+2x）ex，f′（x）=-（x2-2）ex
令f′（x）＞0，得x2-2＜0，∴-＜x＜
∴f（x）的单调递增区间是（-，）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x2+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥对x∈（-1，1）恒成立，
令y=，则y′=
∴y=在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-=
∴
当a=时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[，+∞）．