Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer

（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）连接AC，证明BD⊥平面PAC，说明不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB为二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．
【解析】
（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P-ABCD的体积为．（5分）
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．（2分）
∴，

（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（7分）
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．（9分）
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC．（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．（11分）
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（12分）

（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．（15分）
在Rt△ADE中，，
又，在△DFB中，由余弦定理得
，（18分）
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．（20分）