Question

已知，定义域为（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性．

Answer

（1）根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）函数f（x）是否有零点，也即判断f（x）=0在定义域内是否有解；
（3）设-1＜x1＜x2＜1，通过作差判断f（x1）与f（x2）的大小关系，然后按单调性的定义即可判断，其中要分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论；
【解析】
（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）==-=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=⇒⇒1+x=1-x⇒x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=-=，
∵-1＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜2，0＜1+x1＜1+x2＜2，
∴0＜＜1，0＜＜1，
∴，
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．                    
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．