Question

设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：
（1）；
（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
请回答下列问题：
（1）判断函数的奇偶性并给出理由；
（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由．

Answer

（1）对定义域内任意x存在x1和x2，使x=x1-x2，同样存在x1和x2，使-x=x2-x1，根据条件（1）可得f（x1-x2）与f（x2-x1）的关系，即f（x）与f（-x）间的关系，根据奇偶函数定义即可判断；
（2）任意取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则x2-x1＞0，由奇函数性质可得f（x1-x2）的符号，再由条件（1）可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据增减函数的定义即可判断；
【解析】
（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．
因为在定义域内，对任意x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：；
由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
同样存在x1和x2，使-x=x2-x1，且满足：，即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
（2）函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．
任意取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜4时，f（x）＞0，
∴f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1-x2）=-f（x2-x1）＜0，
又∵，
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．