Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱C C₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．

Answer

（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1∥平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；
（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；
（III）利用空间向量求带到平面的距离公式求出点你到平面的距离．
【解析】
（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：
以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，
建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）
（I）设C1D=x，
∵AC∥PC1
∴
可设D（0，1，x），
∴=（0，1，x），   
设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），
则⇒  令a=1，则=（1，x，-1）∵PB1∥平面BA1D
∴0=0⇒x=；
故CD=C1D．

（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为 
又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜．
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为．
（III）∵  
设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），
则⇒ 
令z=1，∴ 
又∴C到平面B1PD的距离d=．