Question

在中央电视台“开心辞典”栏目有一道试题，给出了文房四宝（宣笔、徽墨、宣纸、歙砚）和它们的原产地（记为A、B、C、D），要求挑战者把文房四宝和对应的产地在答题板上用笔一对一地连起来，每正确连对一组得2分，连错不得分，得分4分及以上可以参加下一关的挑战．
（1）求挑战者得2分的概率．
（2）求挑战者所得分数ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）从4对文房四宝和对应的产地完全正确的选取一对，而其余三队完全配对错误的方法只有2种，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（2）利用排列的计算公式、分类讨论、概率的性质、数学期望即可得出．
【解析】
（1）记挑战者得2分为事件E，则从4对文房四宝和对应的产地完全正确的选取一对，而其余三队完全配对错误的方法只有2种，故P（E）==．
（2）挑战者所得分数ξ可取0，2，4，8．
对产地A，B，C，D的全排列共有4！=24，其中①文房四宝和对应的产地完全正确一对一地连起来只有一种方法，即得8分的P（ξ=8）=；
②文房四宝和对应的产地只有2对正确地连起来的方法共有=6种，故P（ξ=4）==；
③由（1）可知：P（ξ=2）=；
④由概率的规范性可得P（ξ=0）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）-P（ξ=8）==．
故其分布列如下：

ξ 2 4 8
P

∴Eξ=0=2．