Question

设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是（ ）
A．x₁＞-1
B．x₂＜0
C．0＜x₂＜1
D．x₃＞2

Answer

利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
【解析】
∵函数f （x）=x3-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x2-4．令f′（x）=0，得 x=±．
∵当x＜-时，f′（x）＞0；
在（-，）上，f′（x）＜0；
在（，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-）上是增函数，在（-，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．
故f（-）是极大值，f（）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
得 x1＜-，-＜x2，x3＞．
根据f（0）=a＞0，且f（）=a-＜0，得＞x2＞0．
∴0＜x2＜1．
故选C．