Question

某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

Answer

（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，由此可得y与x之间的函数关系式；
（2）方案一：，利用基本不等式可求最值
方案二：y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，利用配方法求最值，比较即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得 （2分）
（2）方案一：∵ （2分）
∵，
当且仅当 时，即x=7 时等号成立
故到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利为12×7+30=114 万元．（2分）
方案二：y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102 （1分）
当x=10 时ymax=102 
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利为102+12=114 万元．（2分）
盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一比较合理．（1分）