Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（2）记函数g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer

（1）由，知在[1，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数性质，能求出实数a的取值范围．
（2）由g（x）=2x3+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x2+a，由a≥0时，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函数f（x）的解析式．
（本小题满分14分）
【解析】
（1），
∴在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令
∵恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）单调递减…（4分）
h（x）max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故实数a的取值范围为[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x3+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x2+a…（9分）
当a≥0时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，无最小值，不合题意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，则（舍负）
∵0＜x＜时，g′（x）＜0；x＞时，g′（x）＞0，
∴g（x）在 上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点．．…（13分）
解得a=-6，
故．…（14分）