Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AC=BC=1，AB=，点D是AB的中点．
（I）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（II）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

Answer

（I） 设CB1与C1B的交点为E，连接DE，通过证明DE∥AC1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．
（II）要求三棱锥A1-ABC1的体积，转化为求出底面A1AC1的面积，说明BC为三棱锥B-A1AC1的高；即可求解．
（本小题满分12分）
证明：（I） 设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，…（3分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．…（5分）
（II）底面三边长AC=BC=1，AB=，∴AC⊥BC，…（7分）
∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC；
而A1A∩AC=C，∴BC⊥面AA1C1C，则BC为三棱锥B-A1AC1的高； …（9分）
∴．…（12分）
（注：若用其他方法求得，相同标准给分）