Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0）对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=1-2^x．
（I） 求函数f（x）的表达式；
（II） 求证：方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；
（III） 若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围．

Answer

（I）根据对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x）可知对称轴为x=1，由此得a，b的方程，再由y=f（x）+2x为偶函数可求得b值，从而求得a值；
（II）设h（x）=f（x）+g（x），方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根转化为证明函数h（x）在[0，1]上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；
（III）求出f（x），g（x）的值域及其交集，据f（m）=g（n）知g（n）属于该交集；
（I）【解析】
∵对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=1，得b=-2a．
又函数y=f（x）+2x=ax2+（b+2）x+1为偶函数，∴b=-2，从而可得a=1．
∴f（x）=x2-2x+1=（x-1）2．
（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x-1）2+1-2x，
∵h（0）=2-2=1＞0，h（1）=-1＜0，∴h（0）h（1）＜0．
所以函数h（x）在区间[0，1]内必有零点，
又∵（x-1）2，-2x在区间[0，1]上均单调递减，
所以h（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴h（x）在区间[0，1]上存在唯一零点．
故方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根．
（III）【解析】
由题可知∴f（x）=（x-1）2≥0．g（x）=1-2x＜1，
若有f（m）=g（n），则g（n）∈[0，1），
则1-2n≥0，解得 n≤0．
故n的取值范围是n≤0．